概率小遊戲(2)....附答案(完結)

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-16 14:13
原本都唔想再討論的了,但見兩位師兄仍然如此好興致在討論中,就容許在下在補充一下,响或然率第一條學的公 ...

我在出問題至解說上，從來沒有改變過說先抽一個看後再抽第二個，因這樣做機率是會不同的。
我在解說上只是說看球與不看球沒有影響機率，及是否一齊抽也沒影響。
先抽一個然後再抽一個其實等於與兩個一起抽，當然不等於抽一個看完再抽！
我有這句是因為曾有人問過：先抽一個然後再抽第二個與一齊抽是否有分別？

最後回應一個簡單大細知識：4-9點為小，10-17點為大。
所以我才以2,2為例。

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-16 14:56
只是就"這個情況(using permutation)"而言,YU兄這裡的MATHS就會有不同的結果,結果會係1/3而唔再係1/5.... ...

你所寫出的問題與我原先的問題差不多完全一樣，只是用字的分別。
正如我在解說中言，抽波是一個一個抽或兩個一起抽完全沒分別。
至於放在盒中只是形象化，沒有改變問題的本質。

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-16 22:55
我在出問題至解說上，從來沒有改變過說先抽一個看後再抽第二個，因這樣做機率是會不同的。
我在解說上只 ...

04,05,06,07,08,09,10 係小
11,12,13,14,15,16,17 係大

師兄,咁睇你會唔會清楚D?

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-16 23:11
你所寫出的問題與我原先的問題差不多完全一樣，只是用字的分別。
正如我在解說中言，抽波是一個一個抽或 ...

不敢苟同,若然師兄懂得賭馬,便知道三重彩與單T的分別。

單T只要選中頭三名便可,這之所謂combination,所以揀三隻買只要十蚊,

三重彩要講究埋次序,次序錯左中晒三隻都無錢收,這之所謂permutation,所以揀三隻買要用六十蚊才包含六個唔同的排列次序

師兄的題目用詞所引伸的含意是組合(combination),並不是排列(permutation),在下特意重寫一次代表了排列的含意的問題,師兄居然說是"差不多完全一樣,只是用字的分別"

其實如果要斟酌用詞,問題中的"先SHOW其中一個波的顏色"與"先SHOW第一個波的顏色"已經足以令答案原全不同。

請師兄先咀嚼一下在下與HENRYYU兄所說的與閣下有何差異,反覆驗證後才考慮繼續堅持己見,好嗎?

或者再去問一問第三者,攞個second opinion,到時師兄或者會有新的睇法呢!

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-16 20:36
如果問題是: 你看到一個白球, 問另一個是白球的機率? 這時, 我們便要排除看到黑球的所有情況(possible ou ...

1• 四球抽二，當然係Random抽喇，這根本不用談，不是Random，我們計機率作甚?!
2• Elimination的概念是當set有改變時，我們才可把新set以外的情況eliminate。我一直說你錯誤以為看球後set改變了，其實在此題目中，set從來沒有改變。
3• 這四球理論，在網上不易找到解說來給你進一步說明，我已盡力給你解說了。所以我尋找同構的例子，給你說明set的概念。
4• 所以我以概率小遊戲(1)-"三門問題＂(Monty Hall Problem)來解說你Elimination用法錯誤的地方。就算我解你唔明，網上也可找到不同的解說方法。

在三門問題上，你選了A門，主持人特地開了明知沒獎的B門給你看，那只剩A,C兩門，你改選C門還是維持選A?
當時你答時認為是1/2。
如用你的elimination理論來推算，既然見到B門沒獎，那應eliminate走，所以開了B後，A與C是對等的，得出1/2的答案。
推理上好像講得通，可惜那是錯的答案，正解是：A門1/3；而C門則是2/3!
我們可用set的概念去解釋：
當你初選A時，你中獎的機率是1/3。我把A門稱為Set A，而B+C的set稱為 Non-A Set。
我們開了B門後，在Non-A Set中的確起了變化，但沒有改變Set A與Set Non-A任何關係。當你認為要eliminate走B門時，其實只應eliminate Non-A中的sub-set B，但A + Non-A永遠是等於1，這是不會變的！

如你開始時分為三個set，當要eliminate Set B時，同時改變了沒有任何改變的Set A，這便是邏輯不覺間出了問題。
這便是我為何說你用elimination是錯的。

那何時才用elimination呢？當整個Set須要改變時才用，亦是逗尼ching所説的conditional probability，那常出現在玩穚牌時作計算，你可在網上找＂限制出牌理論＂去參詳一下。

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-16 23:21
04,05,06,07,08,09,10 係小
11,12,13,14,15,16,17 係大

對，是簡單的錯誤。

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-16 23:51
不敢苟同,若然師兄懂得賭馬,便知道三重彩與單T的分別。

單T只要選中頭三名便可,這之所謂combination,所 ...

1• 這不是個新問題，我第一次見此問題約在三十多年前，當時看後都唔多明，及後在另一門書看到同一問題，才去深入理解
2• 是Yu Ching認為看球後要排除見不到的可能性，那便必然有排列的出現。
3• 你在三門問題時，為何不用相同理念的排除方法，即排除後改變了A門原來的機率。
4• 詳見150樓
5• 其實如果要斟酌用詞,問題中的"先SHOW其中一個波的顏色"與"先SHOW第一個波的顏色"已經足以令答案原全不同•••••我就認為完全相同，可否列出分別的答案供參考

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-17 00:36
1• 這不是個新問題，我第一次見此問題約在三十多年前，當時看後都唔多明，及後在另一門書看到同一問題， ...

師兄請試答一下以下六條簡單的問題。

四隻馬
1) 綠怡(白色)
2) 及時而出(白色)
3) 精英大師(當佢係黑色)
4) 蓮華生輝(都當佢係黑色)

definition: (如果師兄識賭馬便很易明白)
連贏 - 跑入首、次名的組合(不限次序)
二重彩 - 跑入首、次名的排列(要跟足次序)

Assume 四隻馬實力一模一樣,機會完全均等(如同四個identical balls)

場馬跑左,但你完全唔知結果........

問題一: 若果你想保證一定中到連贏,你要買幾多個組合?請列明

問題二: 若果你想保證一定中到二重彩,你要買幾多個排列次序?請列明

問題三: 依家話埋俾你聽有一隻白色的馬入了連贏(即是1號或者2號走入了第一名或者第二名;又即係我隨意在首、次名的兩隻馬,抽一隻馬的顏色俾你知),若果你想保證一定中到連贏,你還需要買幾多個組合?請列明

問題四: 在問題三的答案中,有多少個組合的兩隻馬顏色是相同的?請列明

問題五: 依家話埋俾你聽有一隻白色的馬入了二重彩的第一名(即是1號或者2號走入了第一名),若果你想保證一定中到二重彩,你還需要買幾多個排列次序?請列明

問題六: 在問題五的答案中,有多少個排列次序的兩隻馬顏色是相同的?請列明

waiking

henryyu 發表於 2012-5-17 08:27
回覆 oldcake 的帖子

I don't think you have got what was in my mind, nor have I got yours.   This is ...

真係唔面面都拗唔掂

不過唔好拗到打交呀

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-17 08:27
回覆 oldcake 的帖子

I don't think you have got what was in my mind, nor have I got yours.   This is ...

對, 面談才容易攪清問題. Ching會回港嗎? 那時我們便可詳談......看看是誰應該請飲咖啡.
1. 在題目中"給你看一個"改寫為"隨意給你看一個"較清楚.
2. 我們一直的分歧在於: 何時計算機率. Ching認為在看到球, 得到新資訊後. 而我一直想說明: 機率在抽球時已被鎖定, 以後的只是晃子, 引導作答者走上錯誤的路. 因為是在看球後才答機率, 對抽球時機率已被鎖定便好像有點不合理. 其實, 這類概率問題都是這般, 其中最有名的是概率小遊戲(1)-"三門問題＂(Monty Hall Problem) (明明得番兩隻門, 而機率不是1/2)
3. 我對機率的思考並非在念書時, 而是在看橋牌書時引發的. 關於這問題, 最初是我多年前從橋牌書上看到的, 因為是橋牌書, 所以只說了何時機率才有變化而沒詳盡的解說. 怎料到多年後, 竟在另外一本書看到. 可惜我忘了是那本書, 很大可能是Martin Gardner的"跳出思路的陷阱"或"呵哈, 有趣的推理2". 這幾天我在書房找不到書來番看, 因是十多年前的書, 書店也沒貨. 你也可去找找看.
4. 下星期會有概率小遊戲(3), 那時也許再引發另一波的討論.

waiking

oldcake 發表於 2012-5-17 10:35
對, 面談才容易攪清問題. Ching會回港嗎? 那時我們便可詳談......看看是誰應該請飲咖啡.
1. 在題目中"給 ...

要唔要公証呀

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-17 01:08
師兄請試答一下以下六條簡單的問題。

四隻馬

雖然我攪不清Ching為何要重覆列序, 基於要討論問題必須站在同一平台上, 但以免自說自話, 我還是先作答:
Q1. 6個組合
12, 13, 14, 23, 24, 34

Q2. 12個排列次序
12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34, 43

Q3. 5個組合
12, 13, 14, 23, 24

Q4. 1個組合
12

Q5. 6個排列次序
12, 13, 14, 21, 23, 24

Q6. 2個排列次序
12, 21

因為要站在同一平台才能展開討論, 所以請問是否同意我的答案, 如不同意, 請先說明.

我也用你的例子問問題:
Q7: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了連贏, 若果你想保證一定中到連贏,你還需要買幾多個組合?
Q8: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了二重彩的第一名, 若果你想保證一定中到二重彩,你還需要買幾多個排列次序?

另, 在149樓中, 你提出: 其實如果要斟酌用詞,問題中的"先SHOW其中一個波的顏色"與"先SHOW第一個波的顏色"已經足以令答案原全不同。
我看不出答案會有分別, 可否列出分別的答案供參考?

oldcake

waiking 發表於 2012-5-17 10:51
要唔要公証呀

請多幾杯咖啡, 還負担得起....................反正應該係Henry Ching請

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-17 12:34
I am glad that even though we cannot reach a consensus on the issue, we are able to come to a mutu ...

對, 機率遠比想像中複雜.
我們現在只是兩黑兩白球都講到一頭煙, 多d就連列式都式唔到喇!......所以都係玩玩概率小遊戲好d

waiking

henryyu 發表於 2012-5-17 12:34
I am glad that even though we cannot reach a consensus on the issue, we are able to come to a mutu ...

記錄在案

幾時返嚟可以預先通知

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-17 11:24
雖然我攪不清Ching為何要重覆列序, 基於要討論問題必須站在同一平台上, 但以免自說自話, 我還是先作答:
Q ...

先回答師兄的兩個問題,

Q7: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了連贏, 若果你想保證一定中到連贏,你還需要買幾多個組合?

我只須要買1個組合便可以了,因為那六個組合裡面,任何一個組合都有一隻馬係白色或者黑色的。

Q8: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了二重彩的第一名, 若果你想保證一定中到二重彩,你還需要買幾多個排列次序?

我只須要買1個排列次序便可以了,因為那十二個排列次序裡面,任何一個排列次序的第一名唔係白色就係黑色的。

雖然答案聽落好似在取巧,但正因為問題係咁問,所以亦只可以這樣答,絕無對師兄有半點不敬之心,請明白。而且,在下是想借此證明問題用詞在計算或然率是重要的。

我想,師兄是想問P(same-colored balls are drawn|given one of the balls is shown)=?

這樣的話, 我們便要應用到或然率中的"OR",在這條題目中,

P(same-colored balls are drawn|given one of the balls is shown) = P(WW|given one of the balls is white) or P(BB|given one of the balls is black)
= P(WW|given one of the balls is white) + P(BB|given one of the balls is black)
= P(兩隻白馬構成連贏|已知有一隻白馬入了連贏) + P(兩隻黑馬構成連贏|已知有一隻黑馬入了連贏) <-----[這裡師兄已經在上面答啱晒了]
=1/5 + 1/5 =2/5

至於"先SHOW其中一個波的顏色"與"先SHOW第一個波的顏色",這其實已是衍生出來的一道新問題,而當中就是"連贏"與"二重彩"的分別。因為所謂"SHOW其中一個波的顏色"就是唔知呢個波係抽出來的第一個還是第二個,只知是其中一個,就如同連贏位其中一隻馬,唔知佢是跑第一還是跑第二。

但講明"SHOW第一個波的顏色"就是二重彩的情況,所以在下特意在142樓"形象化"地加了一號箱和二號箱來分別抽出的次序,但在下覺得用跑馬的型式更生活化和形象化,亦更加易明。

P(same-colored balls are drawn|given the first balls is shown) = P(WW|given first balls is white) + P(BB|given first ball is black)
= P(兩隻白馬構成二重彩|已知有一隻白馬跑入第一名) + P(兩隻黑馬構成二重彩|已知有一隻黑馬跑入第一名) <-----[這裡師兄已經在上面答啱晒了]
= 2/6 + 2/6 =1/3 + 1/3 =2/3

waiking

逗利是佛 發表於 2012-5-17 18:29
先回答師兄的兩個問題,

Q7: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了連贏, 若果你想保證一定中到連贏,你 ...

睇情形都要約埋佛餅你飲茶傾啦

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-17 18:29
先回答師兄的兩個問題,

Q7: 依家話埋俾你聽有一隻白色或黑色的馬入了連贏, 若果你想保證一定中到連贏,你 ...

好了，我們在共同的平台討論了。
在回應Q7&8前，請先同意論證的原則，否則容易自說自話。
你先寫出認為符合Question的組合(如你認為任何一個組合都得，那你便隨便寫一個，就好似賭馬買票），如我認為答案是錯的，我便要舉出一個組合既符合Question的要求而你又沒有買的。這是用了反證法的原則。
正如我在答你Q1-Q6時寫出所有我要投注的組合，我沒在答案上註明我為何這樣答，因為這樣容易節外生枝，只要你有任何不同意我的答案時，只要舉出一個例子既符合問題的要求而我沒有寫出來便成。
如果你同意這個原則，便請寫出Q7及Q8你要買的組合，然後看我是否同意，如我不同意，便須舉出例子。

我認為你所列出的兩條算式都是錯的，但也相信我沒能力說服你。

我建議大家出來做個小試驗，用實際的統計去看看。
做法如下：
1• 放兩黑兩白波子入袋，
2• 由公證人左手先抽一粒，然後右手再抽一粒
3• 公證人開左手給大家看（第一粒）
4• 然後開右手
5• 記錄是否同色
6• 然後放回波子入袋，從頭再來
7• 抽200次應該足夠(抽愈多次結果愈準確）(一分鐘已可抽幾次，一個小時內必可完成）
8• 將同色的次數除以總次數便得出試驗結果

因我認為機率是1/3，而Ching認為是2/3。
只要試驗結果較近1/3是我贏，近2/3便是你勝。
輸的一方負責：
1• 在會員創作版開題說明結果
2• 請對方及公證人吃晚飯。其他有興趣的Ching可自費吃飯旁觀(順便出來聚一聚)
君言可否？
Waiking兄一定舉腳贊成。

PS:
反證法的原則：
當有人提出一個假說(hypothesis)，如有另外一人能提出一個反例，便證明那個假說是錯。
例：阿媽一定係女人。
反證者只要找到一個男人是阿媽，縱使99.9999%的阿媽係女人，已能證明這句假説是錯。

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-17 20:46
好了，我們在共同的平台討論了。
在回應Q7&8前，請先同意論證的原則，否則容易自說自話。
你先寫出認為符 ...

先講左Q7同Q8先,在下回心一想,在下的答案只說了我買的組合必有一隻黑馬或一隻白馬,但不一定是中的那一條,所以我的答案是錯的。正確的答案應該係全部組合。

入返正題,其實164樓那個帖是在送出前六個小時已經打好,但當自己看到2/3這個答案時,自己也是接受唔到的,所以HOLD住諗吓問題出响邊.....咁一路諗一路諗,諗諗吓瞓著埋添.....之後瞓到半夜醒來,才醒起未SEND個帖,所以決定SEND出來聽聽兩位的意見。(老餅兄請放心,在下是不會以為自己想的都一定是對的,否則都唔使打完都唔SEND出來,因為我也會反覆諗返自己是否對的,發現不對便會承認,就像上面的Q7Q8)

咁响我啱啱回覆了師兄Q7Q8的問題之後,得到了一點啟發,就是"講左連贏裡面有一隻係白馬或黑馬"基本上是等於"無講",對possible outcomes的總數係無影響的。所以會出現

P(同色馬連贏|話俾你知其中一隻馬係白色或者黑色)=P(同色馬連贏)=2/6=1/3

我諗這個解說已經是你原本問題的解法。師兄所提出的實驗其實已經係另一個加入了排列次序的MODEL,所以合為一談未必合適。

不過,我相信HENRY兄可能同在下仍有同一疑問,就係明明

P(兩隻白馬連贏|話俾你知其中一隻係白馬)=1/5,但點樣可以從這裡走到1/3這個答案呢?

我諗問係是在HENRY兄用的算式是

P(同色馬連贏|話俾你知其中一隻馬的顏色)=P(兩隻馬連贏|話俾你知其中一隻係白馬)+P(兩隻黑馬連贏|話俾你知其中一隻係黑馬)

所以問題就係P(同色馬連贏|話俾你知其中一隻馬係白色或者黑色) 同 P(同色馬連贏|話俾你知其中一隻馬的顏色) 之間本質的分別了,兩者看似一樣,但又好似有尐唔同。至於這條難題應該用哪一條算式去解答?還是當中有一條修改後可以達到相通共容?

好老實講,我未諗得通如何將兩者的關係打通,不過我相信分歧就是在這裡,俾尐時間我再諗諗。

至於食飯問題,難度會更加大了,因為在下住得比HENRY兄還要可能遠一點啊  

waiking

逗利是佛 發表於 2012-5-18 00:31
先講左Q7同Q8先,在下回心一想,在下的答案只說了我買的組合必有一隻黑馬或一隻白馬,但不一定是中的那一條, ...

睇嚟大家要坐埋傾

可能要搵個中立地區至得

可能大家要飛去澳洲至有茶飲囉