概率小遊戲(2)....附答案(完結)

ツャア

B. 三份一 (1/3)
估吓

子彗星

我諗係：A. 二份一（1/2）

gm302

答案是 B；1/3

lugard

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B. 三份一 (1/3)

第一次係四個波抽出兩個同色的機會是三份一 (1/3),
所以剩下的一個會是同色就是 B. 三份一 (1/3)

Keroro88

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我估: A. 二份一 (1/2)

ericchiu1019

oldcake 發表於 2012-5-8 16:01
將黑, 白顏色波各兩個(即兩個黑加兩個白, 一共四個波)放於袋中.
然後在袋中同時抽出兩個波, 隨意給你看其中 ...

B. 三份一 (1/3)

1322jak

1/3       假設我睇到既係白波

剩番果3個波同樣係白既 = 1/3

s63703399

oldcake 發表於 2012-5-8 16:01
將黑, 白顏色波各兩個(即兩個黑加兩個白, 一共四個波)放於袋中.
然後在袋中同時抽出兩個波, 隨意給你看其中 ...

A. 我估係 二份一  係同時抽出兩個波

逗利是佛

oldcake 發表於 2012-5-8 16:01
將黑, 白顏色波各兩個(即兩個黑加兩個白, 一共四個波)放於袋中.
然後在袋中同時抽出兩個波, 隨意給你看其中 ...

對老餅兄解說感到有點失望,佛仔唔知老餅兄對 conditional probability 有幾了解, 但就以閣下的出題,並不是你的解說那麼簡單的。

因為隨意給人看的波,係同時有兩個"分身"的......所以並不是像閣下所說拿了一個白波後,另一個白波的機會便是三分一那麼簡單......

而讓猜者看了其中一個球的顏色,是會對結果有影響的。

因為在抽波時,六個組合都係各有六分一機會,但若果開估了其中一個之後,情況便有輕微的變化。

用跑馬來講會生活化一點(在下在57樓已舉了這樣的例子).....再補充就是說馬已經跑完,有條連贏出左嚟,但你唔知個賽果,但我可以話其中一隻馬的顏色你知,你想一定有錢收就只要投注其中五個組合便夠,此話何解? For example, 1號2號係白馬,3號4號係黑馬,我話左俾你聽當中有一隻白馬入左連贏,咁你就只會買1+2, 1+3, 1+4, 2+3, 2+4.....你唔會再考慮買埋第六個組合(3+4) 的,因為當你知道其中一隻是白馬,(3+4)呢個組合根本唔會再出現。

剩下來的五個組合就會係你知道了其中一個波(或者一隻馬)之後的可存在組合, possible outcomes,你有讀過probability便應該記得的。

P(event)=suitable outcomes / possible outcomes

又或者舉個反證..........有三粒骰,1-6點...1,3,5 單數.....2,4,6雙數....搖完俾你睇一粒,讓你知道係單還是雙......跟住叫你買其中兩粒是單單或雙雙.....你認為你睇左一粒之後贏面會唔會高左吖?

定還是見到一粒單,你都仲會買雙雙搏其餘兩粒開兩個雙俾你吖?

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-11 13:19
I think whether or not you knew the colour of the first ball did affect the answer.   This is beca ...

先以Ching的邏輯而論來看看首盲點所在:
首先, 並不是五個可能性 (W1+W2, W1+B1, W1+B2, W2+B1, or W2+B2)
如將問題改為, 先拿出一白波, (只剩一白兩黑在袋中), 現在抽中白波(那樣便兩球同色)的機會是多少? 這是看到波後, 認為有分別的正確想法........但那與我原本的問題是不同的! 因為這問題是排除了雙黑的可能. 換句說話, 是兩個不同的集(Set).

另外講講 Conditional Probability, 懂打橋牌的人都應該聽過及學過, 正好老餅少年開始打橋牌, 所以還懂一二.

我將球的顏色改為三白一黑, 抽兩個, 問同色.....當你見到黑球時便得知是0%.....但這不影響抽球的機率.
主要問題是為何不能排除雙黑, 因為當我們見到第一個是黑球時, 我們還會問另一個波與你所看到的波相同顏色的機率是多少? .......

我所出的問題是: 另一個波與你所看到的波相同顏色的機率是多少?
我是舉例如你看到的是白波, 但沒排除如你看到的是黑波........我也許寫得不夠好, 但如我寫"如你看到是個白波, 另一個是白波的機會是多少?再加上你看到是個黑波, 另一個是黑波的機會是多少?......這未必太煩了吧!

oldcake

逗利是佛 發表於 2012-5-11 14:34
對老餅兄解說感到有點失望,佛仔唔知老餅兄對 conditional probability 有幾了解, 但就以閣下的出題,並不 ...

Please refer to 126樓.

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-14 20:51
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In your original question, 2 balls ("Ball One" and "Ball Two") were picked simu ...

多謝師兄用心的論證。
我想我們先回到起步點，看看我們互相贊同的地方，然後再解拆分歧處。
共同點是四波抽二（2B, 2W)，同色為1/3機會。
等於，當我們抽波後，如我是兩個波一起看，那便是1/3。
但如我是先看一個而後看一個機會率便改變了，這是不可能的！

我試試用大細來解說這誤解，大或細開出的機率是1/2。
算你買了大，庒家先給你看兩粒骰（2，2），因為最後骰子只有開出6，那如果你中了庒家要賠你6倍？
在你下注時，機率便鎖定了，不管你先看後看。除非你可以在看到骰子後可再投注。
相信你會同意這點。

我倆的分歧點在兩球同色是否等於看一球後另一球同色。這是問題的核心。
因為看一球後同色，便包括了你看到黑黑及白白的機會！
四球抽二先看一球有十二種組合(我不用w1, w2, b1, b2. 改為A,B,X,Y AB=white, XY=Black)
AB, AX, AY, BA, BX, BY, XA, XB, XY, YA, YB, YX.
你先看到A球的機會是1/4，而當你看到A球時，同色(即AB)的機率是1/3，即看到A又同色=1/3 x 1/4= 1/12
如此類推，B,X,Y球各1/12，看見一球後同色是1/12+1/12+1/12+1/12=4/12=1/3

如還未明，將上述X球改為白球，看到一球後同色的機率與不看相同。
(1/4 x 2/3) x 3 + (1/4 x 0/3) =1/2

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-15 09:11
After further thoughts, I accept your point that there can be 12 possible combinations for the bal ...

好了些，我們有了些共同點。
我將情況簡化，再舉一例。
黑白球各一個，抽出一個，你先看看那抽出的球，問袋中是白球的機率？

在邏輯上很清楚知道我們得到新資訊後，重新評估，機率應該有所改變。（這點我認同）
問題在於，誤以為得到了額外的資訊而改變了機率。
明明看到某球的顏色，為什麼說我們沒有額外資訊？
那就要看問題的問法，如果當看到白球後問另一球是白球的機會，便要排除雙黑的機會了。因果我將集(set)改變了！
但如我說你先看一球，那是黑球或白球，問兩球同色。你看到黑球加白球的機率是100%，等於沒有新資訊。
正如我以前的例，你改為三白一黑，自己算算機率。你看到黑球時，兩球同色機會是零，但同時你也要計算見到白球時的機率，見白球的機率是見黑球的三倍。（算式已在之前列出，請參考）


在賭場上，最易出現的資訊認知錯誤為開大細或百家樂。用大細做例較易說明。
連開了十次大，問下次開大的機率？（當沒有圍骰）

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-15 17:32
My response to your latest reply:

"黑白球各一個，抽出一個，你先看看那抽出的球，問袋中是白球的機率？ ...

也好，你在77樓及124樓時，是基於6種排法，現在相信是12種吧，所以應有新算式。
以免我攪不清你的計算方法，請再一次列出你的算式。


"黑白球各一個，抽出一個，你先看看那抽出的球，問袋中是白球的機率？" My response:  0% if the the one drawn out is white, and 100% if the one drawn out is black.  
你並沒有回答到問題，我並不是問你看到白球後，袋中是白球的機率（或反之）。因為你不知所看到的球是什麼顏色，所以要將每一種顏色球（現只有黑白）出現的機率計算在內。

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-15 21:47
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”你並沒有回答到問題，我並不是問你看到白球後，袋中是白球的機率（或反之）。因為 ...

清楚了你的排除方法。先不論排除法是對是錯，你在排除時出現了邏輯上的疏忽。
先用你的方法來算一算，如你看到白球，那你便只有6種可能，而非10種！
1• AB
2. AX
3. AY
4. BA
5. BX
6. BY
答案應是1/3。這點你可以同意嗎？

雖然用你的方法得出的答案也是1/3，可是排除法還是錯的，得出與正解的答案相同只是巧合！
這是我為何再舉多幾例來說明。
容我再次解說只有兩球（一黑一白）的例子，那是這類問題的原型題：
正如你所答，如見的是黑球，在袋中便100%是白球；如見是白球，那便成為0%。
這點我沒異議。
看了一球是一個原素，我們先去理解那個原素是什麼？
那便是你看到那球給你見到的機率再 X （乘）袋是白球的機率，然後將所有你能見的球以這式計算後加起來，那便是正確的機率。那便是你一直所用的排除方法的機率計算方法。
以兩球為例：你看到白球機率是(1/2) x 袋是白球(0%)=0 +  你看到黑球機率(1/2) x 袋是白球(100%)=1/2
相加後便是你看一球後袋中是白球的機率： 0+1/2=1/2

如還未能完全理解，可用一白三黑或一白兩黑來計算一下。

oldcake

henryyu 發表於 2012-5-16 08:20
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Yes, I did commit a counting error.  By negligence, I wrongly included XA, XB,  ...

還不錯, 我們又走近了一步.
現在只剩最後的問題.
如果問題是: 你看到一個白球, 問另一個是白球的機率?
這時, 我們便要排除看到黑球的所有情況(possible outcomes), 到這點我沒異議.
但這題目上我們加了一個前設, 那就是假設我們看到的是白球.
但在現實上, 我們也有可能看到黑球. 那豈不是我們只能算出, 我們見到某顏色球後的機率. 換一句說話, 當看了某一球後, 便再沒有整體的機率 ?! 因為你只能答出當見到是白球及見到是黑球時的機率.
首先, 我們要理解, 當見到一球後, 整體的機率還存在. 否則前設問題"先看一球, 另一個球與你所看到的球相同顏色的機率是多少"便根本不成立. 請問你認同這觀點嗎?

再以你在133樓上回答的邏輯作例子:
"黑白球各一個，抽出一個，你先看看那抽出的球，問袋中是白球的機率？" My response:  0% if the the one drawn out is white, and 100% if the one drawn out is black.
你答了兩個局部的機率(即看到白球或看到黑球), 而你在136樓上進一步說明了看球後只有兩個局部, 而再沒有整體的機率.

我在最初答你話時, 已看出分歧點在集(Set)上, 但未能簡單講很清楚.
所以先不要討論如何計算看球後的機率.

petertom

A. 二份一 (1/2)

逗利是佛

henryyu 發表於 2012-5-15 08:46
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Please see my comments against each of your arguments.

原本都唔想再討論的了,但見兩位師兄仍然如此好興致在討論中,就容許在下在補充一下,响或然率第一條學的公式一定係以下呢條

P(event) = suitable outcome / possible outcome

老餅兄的解說與我倆的有出入,原因就是他問題的 event = "抽兩個波出來,兩個波的顏色相同,provided 其中一個波的顏色",但到了解說的時候,他的event卻變了"先抽一個看看甚麼顏色,再抽第二個波的顏色與第一個波相同"

兩個event 都唔同左,所以佢咪出左1/3呢個答案囉。

其實老餅兄的另一個例子便正好解釋了conditional probability 與unconditional probability 的分別......買大小(為方便起見不計圍骰)原本是50/50 的,但當其中兩粒骰顯示2,3 之後,開大的機會便會只剩下1/6(已經再唔係1/2), 因為最後一粒必須係"6"才會開"大".......原本想繼續用他的2,2, 但開大的機會在此間會變成0,所以為免引起思路上的混亂,改用2,3.......

這個例子正引證著"看到部分結果"對要估計的或然率是存在影響的,與老餅兄較早之所說"沒有分別"是不能並存的。

逗利是佛

henryyu 發表於 2012-5-15 09:11
After further thoughts, I accept your point that there can be 12 possible combinations for the bal ...

只是就"這個情況(using permutation)"而言,YU兄這裡的MATHS就會有不同的結果,結果會係1/3而唔再係1/5.......

因為,假如第一個波係白色(即A同B),所餘下的possible outcomes :AB,AX,AY,BA,BX,BY 六個, 因為指定第一個係白色,所以A#,A#,A#,B#,B#,B#共六個,當中符合"白白"的便有"AB"同"BA"兩個.......咁個或然率=2/6=1/3.....而符合"黑黑"的或然率=1/3,這樣成條數會變晒......但同時條問題都應該變晒,

會變成"一個袋裡有兩個黑波兩個白波,先抽一個出來,放入一號箱,再抽一個出來,放入二號箱,跟住讓你看一號箱內波的顏色,然後請計出兩個抽出來的波是相同顏色的機會"

要是講到咁,成個event 又完全的變了。

逗利是佛

henryyu 發表於 2012-5-16 20:53
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Yes,  there was an error in my counting, as explained in 133樓.  

在下當然明白師兄用的是4C2得來的6個組合,但這6個組合GENERATE出來果12個排列(即W1W2 可變出W1W2與W2W1)

只是想說出如果用這個approach就會係completely another story.  That's why 在下強調"在這情況",因為咁樣就同師兄一路基於原本問題所interpret出來的計算方法分道而行,兩者根本不能混為一談。

要行呢個計法,只可以改了問題的用詞;若果保留住原問題的用詞,interpret出來的計算方法便是師兄一直用開的數式。